AbstractsMathematics

Dependence logic is a novel logical formalism that has connections to database theory, statistics, linguistics, social choice theory, and physics. Its aim is to provide a systematic and mathematically rigorous tool for studying notions of dependence and independence in different areas. Recently many variants of dependence logic have been studied in the contexts of first-order, modal, and propositional logic. In this thesis we examine independence and inclusion logic that are variants of dependence logic extending first-order logic with so-called independence or inclusion atoms, respectively. The work consists of two parts in which we study either axiomatizability or expressivity hierarchies regarding these logics. In the first part we examine whether there exist some natural parameters of independence and inclusion logic that give rise to infinite expressivity or complexity hierarchies. Two main parameters are considered. These are arity of a dependency atom and number of universal quantifiers. We show that for both logics, the notion of arity gives rise to strict expressivity hierarchies. With respect to number of universal quantifiers however, strictness or collapse of the corresponding hierarchies turns out to be relative to the choice of semantics. In the second part we turn attention to axiomatizations. Due to their complexity, dependence and independence logic cannot have a complete recursively enumerable axiomatization. Hence, restricting attention to partial solutions, we first axiomatize all first-order consequences of independence logic sentences, thus extending an analogous result for dependence logic. We also consider the class of independence and inclusion atoms, and show that it can be axiomatized using implicit existential quantification. For relational databases this implies a sound and complete axiomatization of embedded multivalued and inclusion dependencies taken together. Lastly, we consider keys together with so-called pure independence atoms and prove both positive and negative results regarding their finite axiomatizability. Riippuvuuslogiikka on formalismi, joka tutkii muodollisen logiikan viitekehyksessä riippuvuuden ja riippumattomuuden käsitteitä. Koska nämä käsitteet ilmenevät myös monilla muilla eri tieteenaloilla, riippuvuuslogiikan tutkimus kytkeytyy muun muassa tietokantateoriaan, tilastotieteeseen, kielitieteeseen, sosiaalisen valinnan teoriaan ja fysiikkaan. Ideana riippuvuuslogiikassa on laajentaa tunnettuja muodollisen logiikan kieliä erilaisilla riippuvuuden käsitteillä. Propositio-, modaali- ja predikaattilogiikoille voidaan kaikille määritellä laajennoksia, joissa riippuvuuksia ilmaistaan uusien atomikaavojen avulla. Tämä väitöskirja tarkastelee kahta tällaista ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan laajennosta. Toisessa uudet atomikaavat kuvaavat riippumattomuuden, ja toisessa sisältyvyyden käsitteitä. Saatuja laajennoksia kutsutaan riippumattomuuslogiikaksi ja inkluusiologiikaksi. Tutkielma jakautuu kahteen osaan. Ensimmäisessä osassa tarkastellaan edellä…