AbstractsMathematics

This dissertation studies classical questions in the field of geometric analysis in the context of metric spaces. The dissertation is comprised of three research articles. The first is on the connection of quasiconformal maps and the quasihyperbolic metric. The remaining two concern notions of homotopy classes of Sobolev type maps between metric spaces, comparison with the manifold case, and the existence of minimizers of a p-energy in these homotopy classes. The unifying theme of all three articles is analysis on metric spaces. That is, all three papers deal with questions concerning maps between metric spaces. The particular type of metric spaces involved is generally referred to as PI-spaces. PI-spaces satisfy conditions allowing one to extend a large part of classical first order calculus, such as the theory of Sobolev maps and, á posteriori, differentiability of Lipschitz functions. Tässä väitöskirjassa klassisia geometrisen analyysin tutkimuskysymyksiä tarkastellaan uudessa, metristen avaruuksien kontekstissa. Väitöskirja koostuu kolmesta tutkimusartikkelista. Näistä ensimmäinen käsittelee kvasikonformikuvausten ja kvasihyperbolisen metriikan yhteyttä. Toiset kaksi käsittelevät Sobolev-tyyppisten kuvausten homotopialuokkia metrisissä avaruuksissa, vertailua klassiseen monistojen teoriaan, ja p-energian minimoijien olemassaoloa mainituissa homotopialuokissa. Artikkeleiden yhteinen teema on analyysi metrisissä avaruuksissa. Kaikki kolme tutkimusasetelmaa koskevat metristen avaruuksien välisten kuvauksien ominaisuuksia. Kyseessä olevia metrisiä avaruuksia kutsutaan usein PI-avaruuksiksi. PI-avaruudet ovat kattava yleistys avaruuksille, joille klassiset ensimmäisen kertaluvun differentiaalilaskennan periaatteet ovat voimassa. Niille voidaan määritellä esimerkiksi Sobolev-avaruuksia, ja todistaa Lipschitz-funktioiden differentioituvuuslauseita.