Abstracts Mathematics

Integral and integro-differential equations with measure-valued solutions describing the evolution of structured populations

by Eugenia Franco

Väitöskirjassa analysoidaan kahden erityyppisen evoluutioyhtälön ratkaisuja. Käsiteltävät yhtälöt mallintavat populaatioiden muutosta. Populaatioiden oletetaan koostuvan yksilöistä, joilla on ominaisuuksia. Yksilöt voivat olla esimerkiksi soluja tai aerosoleja. Ensimmäinen yhtälö on uusiutumisyhtälö, joka kuvaa fysiologisia systeemejä. Yhtälöstä voidaan päätellä systeemin pitkän ajan kehitys. Yhtälön ominaisuudet riippuvat siinä esiintyvän integraalioperaattorin ytimestä. Väitöskirjassa tarkastellaan kahta eri ydintyyppiä, joiden tutkimiseen tarvitaan eri menetelmiä. Toinen väitöskirjassa tarkasteltava evoluutioyhtälö on koagulaatioyhtälö, joka mallintaa ilmakehän hiukkasten hyytelöitymistä. Yhtälöiden ratkaisujen sallitaan olevan karkeita, tarkemmin ottaen ne voivat olla Radonin mittoja. Väitöskirjassa osoitetaan, että tilanteessa jossa pieniä hiukkasia syntyy tasaiseen tahtiin, yhtälöllä on olemassa itseäänmuistuttava ratkaisu. Itseään muistuttava ratkaisu on kaikilla ajanhetkillä skaalattu versio sen alkutilasta. Näiden itseäänmuistuttavien ratkaisuiden otaksutaan kuvaavan lähteellisen koagulaatioyhtälön ratkaisuiden pitkän aikavälin käytöstä. Tällaisia yhtälöitä sovelletaan ilmakehän aerosolien kuvaamiseen.